Babilonia
Desde el tercer milenio antes de Cristo los pueblos que habitaron entre los ríos Tigris y Eúfrates nos han dejado miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas apaprecen manifestaciones matemáticas que nos han permitido descubrir desde su sitema de numeración en base 60 a sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras
De su afición a las observaciones astronómicas acerca de las posiciones de los planetas observables a simple vista Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno conservamos en la actualidad dos vestigios muy populares:
- El horóscopo. Eran excelentes astrólogos, ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales.
Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.
- De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.
Contaban con un algoritmo para calcular raíces cuadradas, trabajaban con fracciones, resolvían ecuaciones de primer y segundo grado e incluso algunas ecuaciones cúbicas de la forma
n3 + n2 = a
Tablilla con motivos geométricos
A partir del año 2.000 a de C, descubren las ventajas de un sistema posicional, que les permite escribir cualquier número con sólo dos símbolos T para el 1 y < para el 10.
La base que utilizan es 60.
Así 24 = <<TTTT
93 = 60 + 30 + 3 = T<<<TTT
4103 = 3600 + 480 + 20 + 3 = 602 + 8 x 60 + 2 x 10 + 3 =
TTTT <
T TT
TTTT <
Y ¡sorpresa!, aunque no contaban con dos herramientas imprescindibles para trabajar con decimales, el cero y la coma, también representaban fracciones de denominador 60 y sus equivalentes. Por ejemplo:
321 3/4 = 5 x 60 + 21 + 45/60 se escribiría:
TTT < << TTT
T
TT < << TT
Tablilla con 17 problemas matemáticos
Tablilla Plimpton con las ternas pitagóricas
La tablilla conocida como Plimpton 322 que se conserva en la Universidad de Columbia, escrita hacia el año 1800 antes de Cristo en la que aparecen cuatro columnas de números distribuidos en 15 filas. En apariencia podía tratarse de algún tipo de anotación contable pero descifrados los números corresponden a la primera relación de ternas pitagóricas de la que se tenga conocimiento.
Fila sexta
De esta tablilla se puede deducir que los babilonios conocían el hecho de que si p y q son dos números enteros entonces los númerosb = p2 - q2 ; c = 2pq ; y a = p2 + q2
a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo,
La sexta fila corresponde a los valores de
p = 20 y q = 9
En las columnas 2ª y 3ª aparecen, escritos en sistema sexagesimal, los valores de b y de a. Y en la primera el cociente a2 / c2. El equivalente a nuestra secante al cuadrado del ángulo C.
Según Herodoto los egipcios son los padres de la Geometría, pero gracias a sus monumentos y sus papiros también sabemos hoy que disponían de un sistema de numeración adicional que les permitía trabajar con fracciones de una forma muy especial ya que el numerador siempre era la unidad.
El papiro egipcio es menos resistente al paso del tiempo que las tablillas babilónicas.
Sin embargo alguno ha llegado hasta nosotros. Los más populares el papiro de Rhind y el de Moscú. En ellos aparece una colección de más de 100 problemas que nos brindan una valiosa información de las matemáticas egipcias.
Su sistema de numeración era de base diez, como el nuestro. Los símbolos para representar las potencias de 10 eran estos:
Notaciones numéricas en piedra
Fórmulas de avituallamiento en un monumento funerario
Papiro de Moscú
Papiro de Rhind
Los egipcios, como los babilonios, también trabajaban con fracciones, con partes de la unidad.
Pero lo curioso es que sólo utilizaban fracciones con numerador la unidad, es decir de la forma: 1/2, 1/3, 1/4, 1/7, 1/15, 1/47...
Cualquier parte de la unidad la expresaban como suma de fracciones de este tipo.
El papiro de Rhind contiene una tabla de conversión de partes de la unidad a estas fracciones. Es el equivalente con más de 3.000 años de antigüedad de nuestras tablas de multiplicar, sólo que para trabajar con fracciones.
El término "matemática", al igual que el de filosofía, se le debemos a él.
¿Cuáles son las principales aportaciones matemáticas de la escuela pitagórica?...
La primera y quizás la más importante el introducir la necesidad de demostrar las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o ciencia de los números - su lema era "todo es número" -, la geometría, la música y la astronomía.
Armonía musical
Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números.
Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una nota. Cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad, es decir en relación 1:2 obtenemos una octava.
Si la longitud era 3:4 obtenemos la cuarta y si es 2:3 tenemos la quinta.
Teorema de Pitágoras ( Elementos de Euclides)
Pero lo que colmó de gozo a Pitágoras, hasta el punto de mandar sacrificar un buey a los dioses, fue la demostración del famoso teorema. Por desgracia, el secreto que imponía las normas de la sociedad ha hecho imposible que esta demostración llegue a nuestro conocimiento, aunque podemos deducir que no sería muy distinta de la que Euclides nos brinda en sus Elementos.
Sin duda es el teorema que cuenta con más número de demostraciones.
Scott Loomis reunió y publicó a principios de este siglo 367 demostraciones.
Hipsicles de Alejandría ( S.II a. de C.) va a proporcionar la definición de número poligonal de d lados y orden n de una forma que algebraicamente equivale a nuestra fórmula
N (n,d) = n+ 1/2 n ( n -1) ( d -2 )
Números amigos
Son aquellos que verifican que la suma los divisores de uno de ellos coincide con el otro
Por aquellas ironías de la historia su símbolo es portador del germen de los números irracionales.De hecho es un poema al número áureo.
Euclides: Los Elementos
Edición griega de los Elementos
Euclides en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas recoge gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.
Números perfectosEn el libro IX de los Elementos Euclides nos deja perplejos con su proposición 36, que proporciona un método original para encontrar números perfectos.
"Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto"
Es decir: "Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto".
Si (1+2+22+...+2n) es primo,
entonces (1+2+22+...+2n)·2n es perfecto
Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros números perfectos: 6, 28, 496, 8128
Es decir, ya en el siglo I encontramos la solución a uno de nuestros problemas:
Apolonio: el padre de las cónicas
Arquímedes: círculos, esferas, espirales, parábolas...
El tornillo de Arquímedes
Los espejos ardientes
Sobre la Esfera y el Cilindro. Museo Vaticano
Muerte de Arquímedes
Ptolomeo
Epiciclos y Deferentes
Diofanto
La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En él Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos.
En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet.
Aritmética con las anotaciones de Fermat
El sistema de numeración romano, esas cifras que aún hoy vemos en muchos de nuestros monumentos, no es una buena herramienta para el cálculo.
Utiliza letras del alfabeto para representar los números y no es posicional, es decir cada símbolo vale siempre lo mismo, no importa dónde esté colocado.
Las cifras que utilizaban son éstas: I, V, X, L, C, D, M
El sistema se basa en la suma de los símbolos. Salvo en el caso en que un signo numérico menor preceda a uno mayor:
Por ejemplo: 1336 se escribe MCCCXXXVI
Pero 2894 es: MMDCCCXCIV
Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis... Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss. Sólo en Francia otra figura es capaz de hacerle sombra, Cauchy, dando paso, o mejor obstaculizando, a dos jóvenes genios: Abel y Galois.
 Gauss (1777-1855)Gauss Biografía y obras Cauchy (1789-1857) |
| Lobatchesky 81792-1856)Sofia Khovalevskya (1850-1891)Riemann (1826-1866) |
Hitos en la historia de la matemática antes de cristo
c. 20 000: Pobladores del Cercano Oriente comienzan a usar muescas para registrar números
c.3 500: Los egipcios desarrollan un sistema de numeración que puede registrar números muy altos, con diferentes signos para unidades, decenas, centenas, etc.
c. 2 400: Se crea en Mesopotamia un sistema de numeración basado en el valor da la posición.
c. 2000: Los matemáticos de Mesopotamia aprenden a resolver ecuaciones cuadráticas
c. 1900: En Mesopotamia, los matemáticos descubren lo que ahora llamamos el Teorema de Pitágoras
c.470: El matemático griego Hipaso de Metapont descubre el dodecaedro regulars, sólido de doce caras.
c. 450: Los pitagóricos demuestran que algunas medidas, como raiz (2)1/2no puede medirse en unidades.
c. 300: El griego Euclides demuestra en los XII Tomos de "LOS ELEMENTOS" que virtualmente todas las conocimientos existentes partes de las matemáticas conocidas en su tiempo, podían probarse a partir de una corta lista de axiomas.
c. 260: En Centroamérica, los Mayas desarrollan un sistema de numeración basado en el valor de posición.
c. 230: El griego Apolonio de Perga escribe Cónica un análisis de curvas tales como la parábola, la elipse y la hipérbola.
Después de Cristo
876: Aparece en la India el primer uso conocido del cero.
1100: El poeta, astrónomo y matemático peras Omar Kayam desarrolla métodos geométricos para resolver ecuaciones cúbicas.
1321: El francés Levi ben Gershom (Gersónidas) es el primero en utilizar la inducción matemática.
c. 1515: El italiano Escipión del Ferro descubre método algebraico pasa resolver una forma de ecuaciones cúbicas,
1536: El italiano Nicola Fontana (Tartaglia) anuncia que puede resolver dos tipos de ecuaciones cúbicas,
1572: El italiano Rafael Bombelli utiliza números complejos para resolver ecuaciones
1614: El escocés John Napier describe los logaritmos.
1637: El francés Remé Descartes publica su primer aporte sobre geometría analítica, también descubierta por el francés Pierre de Fermat.
1639 El francés Gérard Desargues presenta la geometría proyectiva..
1654: Los franceses Blaise Pascal y Pierre de Fermat desarrollan las leyes básicas de
calculo de probabilidad.
1666: El inglés Isaac Newton describe su invento del cálculo infinitesimal pero no lo publica en ese mes momento.
1684: El alemán Gottfried Wilhelm Lelboiz. Publica primer aporte de su ind4pendiente del cálculo infinitesimal.
1763: El francés Gaspard Monge inventa la geometria descriptiva.
1799- El alemán Karl Friedrich Gaus prueba teorema fundamental del álgebra de que toda ecuación polinomica tiene solución. Ese mismo año el italiano Paolo Rufino
presenta primera prueba de q todas las ecuaciones polinomicas de quinto grado pueden resolver por métodos algebraicos.
1801: Gauss publica sus Discusiones matemáticas, que amplían enormemente la teoría de los números.
1822 FI francés Jean Víctor Poncelet desarrolla la geometría proyectiva.
1826: El ruso Nikolai Ivanovich Lcibacbevski expresa el primer planteamiento publico de la geometría no euclidiana.
1837: El francés Pierre Wantzr demuestra que un ángulo no puede ser trisecado con sólo el uso de compás y el trazado de rectas.
1854. El alemán Georg F.B Riernaim muestra que son posibles varias geometrías no euclidianas.
1877: El alemán Georg Cantor muestra que el número de puntos en un segmento de línea es idéntico al que se halla en el interior del cuadrado.
1881 El norteamericano Josiah Willard Gibbs presenta el análisis de vectores.
1882 El alemán Ferdinan von Lindeman prueba que pi es trascendental implicando que el círculo no puede ser transformado en cuadrado usando compás y trazando rectas.
1892Cantor prueba que hay al menos dos tipos de infinito, específicamente que el infinito de los números reales (incluyendo todos los decimales infinitos.) es mayor que el infinito de los números enteros (1, 2, 3,-).
1900 El alemán David Hilbert propone una famosa lista de 23 problemas irresolutos.
l931 El austriaco norteamericano Kurt Goden muestra que cualquier sistema formal suficientemente fuerte para incluir leyes aritméticas es incompleto e inconsistente: incompleto si no puede probar todos los teoremas verdaderos, e inconsistente si puede probar dos teoremas contradictorios.
1936 Independientemente, el inglés Alan M. Turing y el norteamericano Alonzo Chureh descubren que no hay ningún método infalible para probar si una aseveración
matemática es verdadera o falsa.
1949 El norteamericano Claude E Shannon publica su trabajo sobre la teoría de la información.
1976 Se prueba con ayuda de computadora que cualquier mapa puede ser coloreado con 4 colores en modo tal que no haya dos regiones limítrofe del mismo color.
1980 Se completa la clasificación de todos los grupos simples finitos comenzando en 1830.
1989 El húngaro Mikios Lackivich prueba que si un círculo se cortase en un número infinito de pares estas podrían rejuntarse formando un cuadrado.
1991 El chino Wu-Yu Haiang prueba la conjetura de Johannes Kepler (1961) de que la manera de formar esferas de gran densidad es lo que los matemáticos llaman el método de la celosía cúbica a cara centrada.
1996 Andrew Wails demuestra despues de casi cuatro siglos el llamado último teorema de Fermat. Su demostración de casi 200 páginas causo revuelo y la noticia fue de tal impacto que inclusive publicaciones frívolas como "Hola" resaltaron el hecho.
CIBERGRAFIA:
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